味蕾考试网将带大家认识高二数学竞赛试题，并将相对应的解决措施告诉大家，希望可以帮助大家减轻一些烦恼。
- 1、今天的创新杯数学竞赛高二试题
- 2、高中希望杯数学竞赛的试题 要答案一起的哈，嗯越多越好！
- 3、高中数学奥林匹克竞赛全真试题的目录
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今天的创新杯数学竞赛高二试题
创新杯数学竞赛试题
一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育
1．与30以内的奇质数的平均数
最接近的数是
A．12 B．13 C．14 D．15
2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有
若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，
这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比
A．不增不减 B．减少1个
C．减少2个 n．减少3个
3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排
播出的方法共有__种。
A．21 B．22 C．23 D．24
4．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是__元．
A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8
5．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007
A．201 B．203 C．204 D．205
6．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有盏．
A．1004 B．1002 C．1000 D．998
7．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为
A．1032 B，1132 C．1232 D．1332
8．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是
A．29 B．31 C．33 D．35
9．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是
A．62 B．92 C．512 D．1024
10．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是
二、填空题(5’×12二60’)
11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105__•
12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停
车格的路边，最好的情况下可停15_部车，最差的情况下可停_8__部车．
13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为12.56__cm2(圆周率π取3.14)．
14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7__，其中，n是非零的自然数．
15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果__301__个．
16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中_B是骑士，_AC_是无赖．
17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是4•
明阳
18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形 ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是__9：137•
19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．
则所有不同取球情况所得到的积的和是_53_
20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点， 同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是_360__米．明阳教育
21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有4个．
22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即
(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…
那么2007位于第45_组，是这一组的第27个数．
三、解答题(共40分)
23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．
(1)观察此图，解下列问题：
①甲在B地休息了多长时间算一算，休息前、后步行的各是多少15分，75、75
②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行各是多少50、50
(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分8：12，8：45
24．(20分)
如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．
(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法
共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：1
2、个位数字为2的质数：2
3、个位数字为5的质数：5
4、个位数字为1、3、7、9的质数。
也有老师认为这样分：奇奇、奇偶，偶偶，偶奇。即指两人拿的奇偶性来分。但是我认为这样分的话，和下面“对于乙的四类走法”这句问话想矛盾。
请大家发表自己的看法，你们是怎么分的呢？
(2)如果甲第1次走了3格，对于乙的四类走法，甲应分别采取怎样的对策才能保证自己(甲)一定获胜并简单说明，为什么采取这样的对策，甲一定获胜
甲第一次移了3格后，剩下2004。现在轮到乙移。乙移动后又该轮到甲。也就是说甲总是最后移。所以甲要想获胜，他倒数每二次拿后一定要留下至少4个，这样乙才不能拿完。这样甲就必胜。
当乙拿1个时，甲就拿3个，或者其他和1加起来是4的倍数的质数。这样就会留下4的倍数个格子。最后甲必胜。
当乙拿2个，甲也拿2个。保证甲留的是4的倍数。
当乙拿5个及和其他质数也同样的道理。只要甲每次在乙拿完后，再拿和乙加起来是4的倍数的数。这样，最后总是甲胜。
高中希望杯数学竞赛的试题 要答案一起的哈，嗯越多越好！
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数 在 上的最小值是 （ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[解] 当 时， ，因此
，当且仅当 时上式取等号．而此方程有解 ，因此 在 上的最小值为2．
2．设 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 （ D ）
A． B． C． D．
[解] 因 有两个实根
， ，
故 等价于 且 ，即
且 ，
解之得 ．
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为 （ B ）
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为
．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
，
，
，
故 ．
[解法二] 依题意知， 的所有可能值为2，4，6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜，则 表示乙在第 局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
，
，
，
故 ．
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ A ）
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ，则有 ， ，不妨设 ，从而 ， ．故 ． 只能取9，8，7，6．
若 ，则 ，易知 ， ，得一组解 ．
若 ，则 ， ．但 ， ，从而 或5．若 ，则 无解，若 ，则 无解．此时无解．
若 ，则 ，有唯一解 ， ．
若 ，则 ，此时 ， ．故 ，但 ，故 ，此时 无解．
综上，共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3．
5．方程组 的有理数解 的个数为 （ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若 ，则 解得 或
若 ，则由 得 ． ①
由 得 ． ②
将②代入 得 ． ③
由①得 ，代入③化简得 .
易知 无有理数根，故 ，由①得 ，由②得 ，与 矛盾，故该方程组共有两组有理数解 或
6．设 的内角 所对的边 成等比数列，则 的取值范围是
（ C ）
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ，则 ，而
．
因此，只需求 的取值范围．
因 成等比数列，最大边只能是 或 ，因此 要构成三角形的三边，必需且只需 且 ．即有不等式组
即
解得
从而 ，因此所求的取值范围是 ．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设 ，其中 为实数， ， ， ，若 ，则 5 .
[解] 由题意知
，
由 得 ， ，因此 ， ， ．
8．设 的最小值为 ，则 ．
[解]
，
(1) 时， 当 时取最小值 ；
(2) 时， 当 时取最小值1；
(3) 时， 当 时取最小值 ．
又 或 时， 的最小值不能为 ，
故 ，解得 ， (舍去)．
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用 表示名额．如
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于 个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有 种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
．
的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
10．设数列 的前 项和 满足： ， ，则通项 = ．
[解] ，
即 2
= ，
由此得 2 ．
令 ， ( )，
有 ，故 ，所以 ．
11．设 是定义在 上的函数，若 ，且对任意 ，满足
， ，则 = ．
[解法一] 由题设条件知
，
因此有 ，故
．
[解法二] 令 ，则
，
，
即 ，
故 ，
得 是周期为2的周期函数，
所以 ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心．
因
，
故 ，从而 ．
记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2．记正四面体
的棱长为 ，过 作 于 ．
因 ，有 ，故小三角形的边长 ．
小球与面 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．
又 ， ，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 ．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证：
．
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在 内相切，其切点为 ， ．
…5分
由于 ， ，所以 ，即 ． …10分
因此
…15分
． …20分
14．解不等式
．
[解法一] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
．
即 ． …5分
分组分解
，
， …10分
所以 ，
． …15分
所以 ，即 或 ．
故原不等式解集为 ． …20分
[解法二] 由 ，且 在 上为增函数，故原不等式等价于
． …5分
即
，
， …10分
令 ，则不等式为
，
显然 在 上为增函数，由此上面不等式等价于
， …15分
即 ，解得 ( 舍去)，
故原不等式解集为 ． …20分
15．如题15图， 是抛物线 上的动点，点 在 轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
[解] 设 ，不妨设 ．
直线 的方程: ，
化简得 ．
又圆心 到 的距离为1，
， …5分
故 ，
易知 ，上式化简得 ，
同理有 ． …10分
所以 ， ，则
．
因 是抛物线上的点，有 ，则
， ． …15分
所以
．
当 时，上式取等号，此时 ．
因此 的最小值为8．
高中数学奥林匹克竞赛全真试题的目录
2005年希望杯数学邀请赛试题（高一）
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2007年希望杯数学邀请赛试题（高一）
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2005年首届“希望杯”全国数学大赛试题（高二）
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2007年第三届“希望杯”全国数学大赛试题（高二）
2008年第四届“希望杯”全国数学大赛试题（高二）
2005年全国高中数学联合竞赛试题
2006年全国高中数学联合竞赛试题
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2006年中国数学奥林匹克试题
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2005年第四届女子数学奥林匹克试题
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2007年第六届女子数学奥林匹克试题
2008年第七届女子数学奥林匹克试题
